题目

如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线 O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．（1）求⊙O2的半径；（2）求△ADB内切圆的面积；（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R， ∵⊙O1与⊙O2外切与点D， ∴直线O1O2过点D， ∴MO2=MD+O2D=4+R， ∵直线l与两圆分别相切于点A、B， ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB， ∵tan∠AM01=， ∴∠AM01=30°，在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R， ∴4+R=2R，解得R=4，即⊙O2的半径为4；（2）∵∠AM02=30°， ∴∠MO2B=60°，而O2B=O2D， ∴△O2BD为等边三角形， ∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°， ∴∠ABD=30°， ∵∠AM01=30°， ∴∠MO1A=60°，而O1A=O1D， ∴∠O1AD=∠O1DA， ∴∠O1AD=∠MO1A=30°， ∴∠DAB=60°， ∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8， ∴△ADB内切圆的半径===2﹣2， ∴△ADB内切圆的面积=π•（2﹣2）2=（16﹣8）π；（3）存在．在Rt△MBO2中，MB=O2B=×4=12，当△MO2P∽△MDB时，=，即=，解得O2P=8；当△MO2P∽△MBD时，=，即=，解得O2P=8，综上所述，满足条件的O2P的长为8或8．

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