题目

∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º． （1）如图①，求证AD+BC=BE； （2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明； （3）若BE⊥BC，tan∠BCD=，CD=10，则AD=______． 答案：（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6或 2+6. 【解析】 （1）证明∠EAB=∠BCD，用ASA证明△EAB≌△DCB，可得AD+BC=BE； （2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论BC－AD = BE；图③的结论AD－BC = BE； （3）利用（2）的结论，过点D作BC边长的垂线，构造直角三角形，结合tan∠BCD=，计算相应边的长度，即可得到AD的值． 【详解】 （1）证明：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD+BC=AD+AB=BD=BE. （2）图②结论：BC－AD = BE， 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴BA－AD=BC－AD= BE，即BC－AD=BE 图③结论：AD－BC = BE. 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即AD－AB=BE （3）如图②所示，作于G 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ ∵ ∴ 在中，CD=10，，∴ 在中，， ∴ 如图③所示，作于H 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ ∴ ∵ ∴ 在中，CD=10，，∴ 在中，， ∴ 综上所述：AD的长度为14－6或 2+6. 【点睛】 本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是解题的关键．

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