题目

在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l1=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4． （1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则lx　　，ly　　． （2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当lx=ly时，求点D的坐标． （3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足lx=ly≤1时，请直接写出a的取值范围． 　 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案； （2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3﹣x|，然后依据lx=ly，列方程求解即可； （3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（3，3）， ∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）． ∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3． ∵B（4，1）， ∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）． ∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4． 故答案为：4；3． （2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P． 设D（x，2x+6），则PD=2x+6． ∵PD⊥x轴， ∴P（x，0）． ∴PC=3﹣x． ∵lx=ly， ∴2x+6=3﹣x，解得；x=﹣1． ∴D（﹣1，4）． 如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P． 设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6． ∵PD⊥x轴， ∴P（x，0）． ∴PC=3﹣x． ∵lx=ly， ∴﹣2x﹣6=3﹣x，解得；x=﹣9． ∴D（﹣9，﹣12）． 综上所述，点D的坐标为（﹣1，4）或（﹣9，﹣12）． （3）如图3所示： 设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）． ∵lx=ly， ∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0． ∵b≠a， ∴b+a=1． 又∵0≤a＜b， ∴a+a＜1， ∴0≤a＜． 　

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