题目

如图1-7，已知矩形ABCD中，AB∶BC=5∶6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC=CD，FG⊥AE于G，求证:AG=4GE.图1-7 答案：思路分析:图中有直角三角形，应充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k(k＞0)，则EC=BC=k,FC=CD=AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2＋BE2=50k2，EF2=EC2＋FC2=10k2，AF2=AD2＋DF2=40k2，所以AE2=EF2＋AF2.由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直的条件，问题的解决就有了眉目.证明：∵AB∶BC=5∶6,∴设AB=5k,BC=6k(k＞0).∴在矩形ABCD中，有CD=AB=5k,BC=AD=6k,∠B=∠C=∠D=90°.∵EC=BC,∴EC=×6k=k.∴BE=5k.∵FC=CD,∴FC=×5k=3k.∴DF=CD-FC=2k.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2=AD2＋DF2=36k2＋4k2=40k2.同理，可得AE2=50k2,EF2=10k2.∴AF2＋EF2=40k2＋10k2=50k2=AE2.∴△AEF是直角三角形.∵FG⊥AE，∴△AFE∽△FGE.∴EF2=GE·AE.∵AE=,∴GE=∴4GE=k.∴AG=AE-GE=k-k=k.∴AG=4GE.

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