题目

如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1. (1)求证:AH⊥平面PBC; (2)求PM与平面AHB成角的正弦值; (3)设点N在线段PB上,且=λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值. 答案： (1)证明:因为PA⊥底面ABC,BD⊂底面ABC, 所以PA⊥BC, 又因为AC⊥BC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC, 又因为AH⊂平面PAC, 所以BC⊥AH. 因为PA=AC,H是PC中点, 所以AH⊥PC, 又因为PC∩BC=C, 所以AH⊥平面PBC. (2)解:在平面ABC中,过点A作AD∥BC, 因为BC⊥平面PAC, 所以AD⊥平面PAC, 又PA⊥底面ABC,得PA,AC,AD两两垂直, 所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,,). 设平面AHB的法向量为n=(x,y,z), =(0,1,1),=(1,2,0), 由 得 令z=1,得n=(2,-1,1). 设PM与平面AHB所成角为θ, 因为=(0,,-), 所以sin θ=|cos<,n>| =|| =|| 即sin θ=. (3)解:因为=(1,2,-2),=λ, 所以=(λ,2λ,-2λ), 又因为=(0,,-), 所以=- =(λ,2λ-,-2λ). 因为MN∥平面ABC,平面ABC的一个法向量=(0,0,2), 所以·=3-4λ=0, 解得λ=.

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