题目

已知曲线E上的任意点到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离小1． （Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）点D的坐标为（2，0），若P为曲线E上的动点，求•的最小值； （Ⅲ）设点A为y轴上异于原点的任意一点，过点A作曲线E的切线l，直线x=3分别与直线l及x轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？请证明你的结论． 答案：【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程； （2）设出P点坐标（x，y），将•表示为x（或y）的函数，根据函数性质求出最小值； （3）设A坐标（0，b）和直线l的斜率k，根据相切得出k，b的关系，求出M，N坐标得出圆C的圆心和半径，利用切线的性质得出AB的长． 【解答】解：（I）由题意可知曲线E为以F为焦点，以直线x=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线E的方程为y2=4x． （II）设P（，y），则，， ∴=（2﹣）（1﹣）+y2=（y2+2）2+． ∵y2≥0， ∴当y2=0时，取得最小值2． （III）设A（0，b），切线l的方程为y=kx+b， 联立方程组，消元得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0， ∵直线l与曲线C相切， ∴△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，即kb=1．∴k=﹣． ∴直线l的方程为y=﹣x+b． 令x=3得y=b﹣． ∴M（3，b﹣），N（3，0）． ∴圆M的圆心为C（3，），半径r=||， ∴AC2=9+（）2． ∵AB是圆C的切线，∴AB2=AC2﹣BC2=AC2﹣r2=9． ∴AB=3． 即点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度不发生变化． 【点评】本题考查了抛物线的定义，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．

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