题目

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　   　． 答案：　　．  【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE'的长；由已知条件可以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'＝30°，在Rt△ADE'中，求出DE'＝即可求解． 【解答】解：E的运动路径是EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝， 当F与A点重合时， 在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'＝，∠CDE'＝30°， 当F与C重合时，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'＝； 故答案为． 【点评】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．

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