题目

已知抛物线C1：y=﹣x2﹣（a+1）x﹣a2﹣4a﹣1交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C． （1）求证：不论a为何实数值，顶点C总在同一条直线上； （2）若∠ACB=90°，求此时抛物线C1的解析式； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿y轴负方向平移2个单位得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+1交抛物线C2于E、F两点（点E在点F的左边），交抛物线C2的对称轴于点N，M（xE，3），若MN=ME，求的值． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用配方法确定顶点坐标，取a=0或﹣1得到两个点，求出经过这两个点的直线的解析式，证明顶点在这条直线上即可． （2）根据题意写出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题． （3）思想确定点N坐标，作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，﹣ m2+m+1），列出方程求出m的值，再求出E、F两点坐标即可解决问题． 【解答】（1）证明：配方得y=﹣（x+2+2a）2﹣2a， ∴顶点C坐标为（﹣2﹣2a，﹣2a）， 当a=0时，顶点为（﹣2，0），当a=﹣1时，顶点为（0，2）， 设经过（﹣2，0），（0，2）两点的直线为y=kx+b， 则解得， ∴直线解析式为y=x+2， ∵x=﹣2﹣2a时，y=﹣2a， ∴不论a为何实数值，顶点C总在直线y=x+2上． （2）解：由题意B（﹣2﹣4a，0）代入y=﹣x2﹣（a+1）x﹣a2﹣4a﹣1， 得到，0=﹣（﹣2﹣4a）2﹣（a+1）（﹣2﹣4a）﹣a2﹣4a﹣1， 整理得，a2+2a=0， 解得a=﹣2或0， a=0时，抛物线为y=﹣x2﹣x﹣1，与x轴只有一个交点，不合题意舍弃． ∴a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣x2+x+3． （3）解：由题意抛物线C2：y=﹣x2+x+1=﹣（x﹣2）2+2， ∴顶点为（2，2）， ∵直线y=kx﹣2k+1，经过定点（2，1）， 点（2，1）在对称轴上， ∴点N坐标为（2，1）， 作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，﹣ m2+m+1）， ∵MN=ME， ∴3﹣（﹣m2+m+1）=， 解得m=2﹣2（不符合题意的根已经舍弃）， ∴点E（2﹣2，﹣1）代入y=kx﹣2k+1得到k=， ∴直线解析式为y=x﹣+1， 由解得或， ∴点F（2+，）， ∴EQ=2，PF=， ∵EQ∥PF， ∴=， ∴==． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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