题目

（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (Ⅰ)求W的方程； (Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，已知点M（，0）， N（0, 1），是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在， 请说明理由.    答案：解：(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ .  ∴ . ∴ W:   . …………………………………4分 (Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得.         ①……………………6分 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. ∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 8分 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2), 由①得.                 ② 又                ③ 因为，， 所以.………………11分 所以与共线等价于. 将②③代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线. …………13分

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