题目

（本题满分14分）给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于M、N两 点，求弦MN的长； （3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥. 答案：解：（1）因为，所以，所以椭圆的方程为， 伴随圆的方程为.                         ……………………………… 4分 （2）设直线的方程，由得 由得，圆心到直线的距离为 所以。                     ……………………………… 8分 （3）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当方程为时，此时与伴随圆交于点 此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是(或，即为(或，显然直线垂直；     同理可证方程为时，直线垂直.           ……………………………… 10分 ②当都有斜率时，设点其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 由，消去得到， 即， ， 经过化简得到：， 因为，所以有， 设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点， 所以是关于的方程：的两个实数根， 因而，即⊥.                          ……………………………… 14分

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