题目

设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值． 答案：【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2， 解得a＝2，b＝1，c＝， ∴椭圆C的方程为． （Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2， ∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0， ∴x1x2+y1y2＝0，∴， 又点A在椭圆C上， 解得|x1|＝|y1|＝． 此时点O到直线AB的距离． （2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m， 联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， ∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB， ∴＝x1x2+y1y2＝0， ∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0， ∴（1+k2）•， 整理，得5m2＝4（k2+1）， ∴点O到直线AB的距离＝， 综上所述，点O到直线AB的距离为定值． （3）设直线OA的斜率为k0， 当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣， 联立，得，同理，得， ∴△AOB的面积S＝＝2， 令1+＝t，t＞1， 则S＝2＝2，                              令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1） ∴4＜g（t），∴， 当k0＝0时，解得S＝1，

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