题目

设定义在区间[x1， x2]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x1+(1－λ) x2时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指“k恒成立”，其中k是一个确定的正数． （1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围； （2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541） 答案：【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三点共线，  又由x=λ x1+(1－λ) x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 则有，故；所以k的取值范围是． （2）对于上的函数， A()，B()， 则直线AB的方程，  令，其中，于是，  列表如下： x em (em，em+1－em) em+1－em (em+1－em，em+1) em+1 + 0 － 0 增 减 0[ 则，且在处取得最大值，又0.123，从而命题成立．  

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