题目

如图1，在四边形中，，，是的直径，平分． （1）求证：直线与相切； （2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值． 答案：（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】 （1）如图，过点作于点 ∵， ∴，即 又∵平分， ∴ 即OE是的半径 ∴直线与相切； （2）如图，连接，延长交延长线于点 由圆周角定理得：， 是的直径，， AD、BC都是的切线 由切线长定理得： ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 设，则 在和中， ，即 解得 在中， 则． 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．

查看本题答案和解析