题目

如图3，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的 等边三角形，D为AB的中点。 （Ⅰ）求证：//平面 （Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。 答案：（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE， 则E为AC1中点， ∵D为AB的中点，∴DE∥BC1， ∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD. - 【证法2：取中点，连结和， ∵平行且等于  ∴四边形为平行四边形 ∴  ∵平面，平面 ∴平面,分 同理可得平面 ∵   ∴平面平面 又∵平面 ∴BC1∥平面A1CD. (II)     又    ， 又      面法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.------------------9分 则，. ∴--------------------10分 平面的一个法向量 所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-------------------------------12分 【法二：取的中点，连结，则-------------------------------7分 ∵面，故, ,面------9分 延长、相交于点，连结， 则为直线与平面所成的角. ------------------------------------10分 因为为的中点，故，又 即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】 【法三：取的中点，连结，则-------------------------------7分 ∵面，故, ,平面------------------------------------------9分 取中点M，连结BM，过点M作，则平面， 连结BN，∵, ∴为直线与平面所成的角，---10分 ∵, 即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】

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