题目

如图，在△ABC中，己知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值．（直接写出答案） 答案：【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM； （2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案； （3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣（x﹣3）2+，利用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值． 【解答】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B， 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM； 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， 当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM， 即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE==， ∴BE=6﹣=； ∴BE=1或； （3）解：设BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴=， 即：=， ∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+， ∴AM=﹣5﹣CM=（x﹣3）2+， ∴当x=3时，AM最短为， ∴BE=3时，AM最短为． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．

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