题目

如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标； （3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式； （4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标． 答案：【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5） 把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得 解得 ∴抛物线的解析式为：y= （2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，） ∴OC=，OB=5 当△OBA∽△OCP时， ∴ ∴OP= 当△OBA∽△OPC时， ∴ ∴OP=5 ∴点P坐标为（5，0）或（，0） （3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45° ∴△MEN为等腰直角三角形． 当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形 ∴点′E坐标为（a﹣b，b） ∵EE′平行于x轴 ∴E、E′关于抛物线对称轴对称 ∵ ∴b=2a﹣3 则点N坐标可化为（a，2a﹣3） 把点N坐标带入y= 得： 2a﹣3= 解得 a1=1，a2=6 ∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0 ∴a=6舍去 则点N坐标为（1，﹣1） 把N坐标带入y=x+c 则c=﹣2 ∴直线l′的解析式为：y=x﹣2 （4）由（3）K点坐标为（0，﹣2） 则△MOK为等腰直角三角形 ∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′ ∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形 ∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）

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