题目

如图，已知地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A（东20°，北60°），B（东140°，北60°），C（东140°，南30°），试求A、B两点与B、C两点及A、C两点的球面距离. 答案：解析：∵A、B纬度相同，∴A、B在同一纬线上，设纬线圆心为O1，则∠AO1B=120°.∵平面ABO1与赤道平面平行.∴∠OAO1=∠OBO1=60°.∴O1A=O1B=Rcos60°=R.在△AO1B中，由余弦定理，得AB2=O1A2+O1B2-2O1A·O1Bcos120°=R2.在△AOB中，cos∠AOB=.∴A、B两点的球面距离等于Rarccos.∵B、C两点在同一经线上，经度差为90°，即∠BOC=90°，∴B、C两点的球面距离为R.∵纬线圆面互相平行，∵O1、O、O2三点共线∴O1O2=O1O+OO2=Rsin60°+Rsin30°=R.O2C=Rcos30°=R，连AC，则可知A、C两点经度差为θ=120°，根据异面直线两点间的距离公式，可得AC2=O1O22+O1A2+O2C2-2O1A·O2C·cos120°=R2.∴在△AOC中，由余弦定理，得cosAOC=.∴∠AOC=π-arccos.∴A、C两点的球面距离为(π-arccos)R.

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