题目

如图，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB＝8，边BC比AD大6. (1)求边AD，BC的长； (2)在直径AB上是否存在一动点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)过点D作DF⊥BC于F， 在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝6， ∴DC2＝62＋82＝100，即DC＝10. 设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x＋6， ∴x＋(x＋6)＝10. ∴x＝2.∴AD＝2，BC＝2＋6＝8. (2)存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8－y，△ADP与△BCP相似，有两种情况： ①△ADP∽△BCP时，有 ＝，即＝，∴y＝. ②△ADP∽△BPC时，有 ＝，即＝.∴y＝4. 故存在符合条件的点P，此时AP＝或4.

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