题目

在△ABC中，AB=AC， D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC＝40°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB＝∠ACF； （3）求证：EF2＋BF2＝2AC2．   答案：（1）解： ∵AB＝AC，△ACE是等腰直角三角形， ∴AB＝AE．∴∠ABE＝∠AEB．…………………………………………………………… 1分 又∵∠BAC＝40°，∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝40°＋90°＝130°…………………………………………………………… 2分， ∴∠AEB＝（180°－130°）÷2＝25°…………………………………………………………3分 （2）证明： ∵AB＝AC， D是BC的中点，∴∠BAF＝∠CAF． 在△BAF和△CAF中， ∴△BAF≌△CAF（SAS）． ∴∠ABF＝∠ACF．………………………………………………………………………… 5分 ∵∠ABE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ACF．…………………………………………………… 6分 （3）∵△BAF≌△CAF，∴BF＝CF． ∴∠AEB＝∠ACF，∠AGE＝∠FGC．∴∠CFG＝∠EAG＝90°．………………… 7分 ∴EF2＋BF2＝EF2＋CF2＝EC2．…………………………………………………………… 8分 ∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠CAE＝90°，AC＝AE． ∴EC2＝AC 2＋AE 2＝2AC2．…………………………………………………………… 9分 即EF2＋BF2＝2AC2．…………………………………………………………………………10  

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