题目

已知数列满足，，其前n项和，则下列说法正确的个数是（    ） ①数列是等差数列；②；③. A. 0                   B. 1                   C. 2                   D. 3 答案：B 【解析】 由a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1，可得a2，a3，a4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{an}满足a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1， 可得a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1， a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3， a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9， 则a4﹣a3＝6，a3﹣a2＝2，即有a4﹣a3≠a3﹣a2， 则数列{an}不是等差数列，故①不正确； an＝3n﹣2，不满足a1＝﹣1，故②不正确； 若Sn满足n＝1时，a1＝S1＝﹣1， 但n＝2时，a2＝S2﹣S1（﹣1）＝1， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1 ＝3n﹣2，n≥2，n∈N*． 代入an+1＝|1﹣an|+2an+1， 左边＝3n﹣1，右边＝3n﹣2﹣1+2•3n﹣2+1＝3n﹣1， 则an+1＝|1﹣an|+2an+1恒成立． 故③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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