题目

如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证： （1）BF=DF； （2）BF⊥FE． 答案：【考点】正方形的性质． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可； （2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可． 【解答】证明：如图所示： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF=DF； （2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F， ∴BF=EF， ∵BF=DF， ∴EF=DF， ∴∠FDE=∠FED， ∵△BAF≌△DAF， ∴∠ABF=∠FDE， ∴∠ABF=∠FED， ∵∠FED+∠FEA=180°， ∴∠ABF+∠FEA=180°， ∴∠BAE+∠BFE=180°， ∴∠BFE=90°， ∴BF⊥FE． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 　

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