题目

（本小题满分16分） 已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． （Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程； （Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围． 答案：（本小题满分16分）解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，        得． ∵m＜3，∴m＝1． …… 2分 圆C：． 设直线PF1的斜率为k， 则PF1：， 即． ∵直线PF1与圆C相切， ∴． 解得．   …………………… 4分 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去． 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4， ∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．            …………………… 6分 2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2． 椭圆E的方程为：．                …………………… 8分2 （Ⅱ），设Q（x，y），， ．           …………………… 10分 ∵，即， 而，∴－18≤6xy≤18．     …………………… 12分 则的取值范围是[0，36]． ……… 14分 的取值范围是[－6，6]． ∴的取值范围是[－12，0]．   …………………… 16分

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