题目

（22）已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…．（Ⅰ）求a3；（Ⅱ）证明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；（Ⅲ）求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn． 答案：（22）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力. 解：（Ⅰ）由题设得a3a4＝10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10． 若a3＝1，则a4＝10，a5＝，与题设矛盾．若a3＝5，则a4＝2，a5＝，与题设矛盾．若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝，与题设矛盾.所以a3＝2.                                                                （Ⅱ）用数学归纳法证明：①当n＝3，a3＝a1＋2，等式成立．②假设当n＝k（k≥3）时等式成立，即ak＝ak－2＋2， 由题设ak＋1ak＝（ak－1＋2）（ak－2＋2），因为ak＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式ak＋1＝ak－1＋2成立．根据①和②，对于所有n≥3，有an＋1＝an－1＋2.                   （Ⅲ）由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及 a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…． 即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，….                                 所以Sn＝

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