题目

如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG. (1)证明：四边形CEFG是菱形； (2)若AB＝8，BC＝10，求四边形CEFG的面积； (3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG＝CG，请写出你的探究过程． 答案： (1)证明：根据翻折的方法可得EF＝EC，∠FEG＝∠CEG. 又∵GE＝GE， ∴△EFG≌△ECG. ∴FG＝GC. ∵线段FG是由EF绕F旋转得到的， ∴EF＝FG. ∴EF＝EC＝FG＝GC. ∴四边形FGCE是菱形． （2）连接FC交GE于O点． 根据折叠可得BF＝BC＝10. ∵AB＝8， ∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF＝＝6. ∴FD＝AD－AF＝10－6＝4. 设EC＝x，则DE＝8－x，EF＝x， 在Rt△FDE中，FD2＋DE2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2. 解得x＝5.即CE＝5. S菱形CEFG＝CE·FD＝5×4＝20. （3）当＝时，BG＝CG， 理由：由折叠可得BF＝BC，∠FBE＝∠CBE， ∵在Rt△ABF中，＝， ∴BF＝2AF. ∴∠ABF＝30°. 又∵∠ABC＝90°， ∴∠FBE＝∠CBE＝30°，EC＝BE. ∵∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝60°. 又∵GC＝CE， ∴△GCE为等边三角形． ∴GE＝CG＝CE＝BE. ∴G为BE的中点． ∴CG＝BG＝BE.

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