题目

（2019·湖北中考模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点． （1）求证：∠P＝180°﹣2∠D； （2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长． 答案：（1）证明见解析；（2）4 【解析】 （1）证明：如图1，连接OA，OB， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB， ∵∠AOB＝2∠D， ∴∠P＝180°﹣2∠D； （2） 如图2，过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F 由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D OB⊥PB；OA⊥PA ∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D 又∵PE∥BD， ∴∠D＝∠PEA ∴∠PEA＝∠POA ∵∠PFO＝∠EFA ∴△OPF∽△EFA ∴∠OPE＝∠OAD ∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝ ∴OG＝AG ∴在△OAG中，由勾股定理得 AG2+OG2＝OA2⇒，解得AG＝6 ∴AD＝12 又∵DE＝2AE ∴AE＝AD＝×12＝4 【点睛】 此题主要考查圆的切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理．灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键．在做涉及圆的题目中，作好辅助线是解题的突破口．

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