题目

已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)解关于x的不等式：f(x)>f′(x)； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围． 答案：解：(1)f′(x)＝2ax－ex， f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0. 当a＝0时，无解； 当a>0时，解集为{x|x<0或x>2}； 当a<0时，解集为{x|0<x<2}． (2)设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex， 则x1，x2是方程g(x)＝0的两个根． g′(x)＝2a－ex， 当a≤0时，g′(x)<0恒成立，g(x)单调递减，方程g(x)＝0不可能有两个根； 当a>0时，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a， 当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减． ∴当g(x)max>0时，方程g(x)＝0才有两个根，∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>.

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