题目

如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 答案：考点： 切线的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC， 由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可． 解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB与⊙切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC， 在△ABC和△CBO中 ， ∴△ABC≌△CBO， ∴∠BOC=∠OAC=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； （2）解：∵△ABC≌△CBO， ∴∠AOB=∠COB， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC，CB=CD， ∴点O在BD上， ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．

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