题目

已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点. （Ⅰ）求直线ON（O为坐标原点）的斜率； （Ⅱ）对于椭圆C上任意一点M，试证：对任意的等式都成立. 答案：解：（Ⅰ）∵离心率为    ∴    ∴ ∴椭圆方程为，    ∴F的坐标为 ∴AB：与联立得： 设，  ，  ∴，    ∴………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，    由平面向量基本定理得：存在实数、，使成立. 若设      ∴……………………………………8分 ∵M在椭圆上，∴ 即： 由（Ⅰ）=，    =+= ∴    =1……………………………………………………………10分 令，则 ∴总存在角（∈R）使成立……………12分

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