题目

在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点O、点A（2 ，2） 和点B（4 ，0）三个点,连接OA、OB.得到△OAB,点E在OA边上从点O向点A匀速运动 （其中点E不与点A、O重合）,同时点F以相同的速度在AB边上从点A向点B运动. （1）求出该抛物线的解析式. （2）若点C是线段OB的中点,连接CE、EF、FC,如图所示； ①在点E运动的过程中,四边形AECF的面积是否会随着点E位置的改变而发生变化?如果变化请说明理由;如果不变,请求出四边形AECF的面积; ②在点E运动的过程中,点A到线段EF的距离是否存在最大值,如果存在请求出最大距离;如果不存在,请说明理由.   答案：解：(1）把点O(0,0)、A(2,2) 和点B(4,0)代入得       ， 解得，  ∴抛物线的解析式为.……3分 （2）①四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化.…4分 连接AC，如图所示:  ∵A(2，2)，B(4,0)，点C是OB的中点 ∴OC=BC=AC=2，∴∠AOC=∠ABO=45O，∴OA=AB,∠OAB=90O， ∴∠BAC=∠AOB=45°，∵AF=OE，  ∴△OCE≌△ACF，…6分 ∴.…………9分 ②由①，△OCE≌△ACF，∴EC=CF，∠ACF=∠ECO。∵∠OCE+∠ECA=90°，∴∠ECA+∠ACF=∠ECF=90°。 ∴△CFE是等腰直角三角形，…10分  ∴EF=CE，当CE⊥OA时，即CE最小时， EF取最小值为2， 为定值，此时点A到线段EF的最大距离为1. …12分

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