题目

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是的中点，，，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 答案：（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）. 试题解析： （Ⅰ）在中，，为的中点，所以.因为平面底面， 且平面底面，所以底面.又平面，所以. （Ⅱ）在直角梯形中，，，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形. 因为，所以，由（Ⅰ）可知平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为，，所以平面， 即为平面的一个法向量，且. 因为是棱的中点，所以点的坐标为， 又，设平面的法向量为. 则，即，令，得，，所以. 从而 . 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

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