题目

某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）． （1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数． （2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？ （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73） 答案：【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果； （2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE， 过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果． 【解答】解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1， ∵AB⊥AM，DE⊥AM， ∴AB∥CG∥DE， ∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°， ∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°； （2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2， 在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米）， 在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米）， 所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米）， 如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K， 在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米）， 所以，DH＝DK+KH＝3.16（米）， 所以，DH﹣DE＝0.8（米）， 所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．

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