题目

已知△ABC,A∈α,BC∥α,BC=6,∠BAC=90°,AB、AC与α所成的角分别为30°、45°,求BC到α的距离. 答案：解析:AB、AC都用BC到α的距离d表示.结合∠BAC=90°,列出d的方程求d.解:过B作BB′⊥α于B′,过C作CC′⊥α于C′,连结AB′、AC′.设BC到α的距离为d,则BB′=CC′=d,并且∠BAB′为AB与α所成的角,∠CAC′为AC与α所成的角.由题意知∠BAB′=30°,∠CAC′=45°,∵△ABB′和△ACC′都是直角三角形,∴AB=2BB′=2d,AC=CC′=d.∵△ABC是以∠BAC为直角的直角三角形,∴BC2=AB2+AC2.∴62=4d2+2d2.∴d=1,即BC到α的距离为1.小结:斜线与平面所成的角,就是斜线与它在平面内的射影所成的角,因此作斜线与平面所成的角关键是作出斜线在平面内的射影.由于斜线与平面所成角可以是一个直角三角形的内角,所以斜线与平面所成角的问题常通过解直角三角形解决.

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