题目

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长． 答案：解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．∵，∴．∴．∴ △ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．……………………………………………………………………2分（2）① ∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴ △APE∽△GFP.  …………………………………………………4分∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………5分即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．……………………………………………6分② . ……………………………………………………7分解析:（1）先求得△ABP∽△DPC．通过比例求出此时PC的长（2）过点F作FG⊥AD于点G．△APE∽△GFP，得，在Rt△EPF中，tan∠PEF=即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．

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