题目

如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标； (3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第6题图 答案：解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4； (2)由y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋可得抛物线的顶点坐标为N(1，)， 如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K， 则K点即为所求点， 第6题解图① 设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把N，C′两点坐标代入可得：，解得， ∴直线C′N的解析式为y＝x－4， 令y＝0，解得x＝， ∴点K的坐标为(，0)； (3)存在．要使△ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①DO＝DF， ∵A(4，0)，D(2，0)， ∴AD＝OD＝DF＝2， 在Rt△AOC中，OA＝OC＝4， ∴∠OAC＝45°， ∴∠DFA＝∠OAC＝45°， ∴∠ADF＝90°. 此时，点F的坐标为(2，2)； 由－x2＋x＋4＝2得， x1＝1＋，x2＝1－. 此时，点P的坐标为(1＋，2)或(1－，2)； ②FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M. 第6题解图② 由等腰三角形的性质得：OM＝OD＝1， ∴AM＝3， ∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3， ∴F(1，3)． 由－x2＋x＋4＝3得， x1＝1＋，x2＝1－. 此时，点P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)； ③OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°， ∴AC＝4，∴点O到AC的距离为2. 而OF＝OD＝2<2， ∴在AC上不存在点F使得OF＝OD＝2. 此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋，2)或 (1－，2)或(1＋，3)或(1－，3)．

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