题目

如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 答案：剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围. 解：以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.    设曲线段C的方程为y2=2px(p＞0)(xa≤x≤xb,y＞0),其中xa、xb为A、B的横坐标,p=|MN|,所以M(-,0)、N(,0).    由|AM|=,|AN|=3,得    (xa+)2+2pxa=17,                    ①    (xa-)2+2pxa=9.                      ②    ①②联立,解得xa=,代入①式,并由p＞0,解得或    因为△AMN为锐角三角形,所以＞xA.    故舍去所以    由点B在曲线段C上,得xb=|BN|-=4.    综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y＞0). 

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