题目

(本小题满分12分) 设直线l与抛物线y2=2px（p>0）交于A、B两点，已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，△OAB的面积为（O为坐标原点）． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当直线l经过点P（a，0）（a>0）且与x轴不垂直时， 若在x轴上存在点C，使得△ABC为等边三角形，求a 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由条件可得，O点到AB距离为， …………………1分 ∴，      ……………………………………3分 得： ，  ∴ 抛物线的方程为．                  …………………4分 （Ⅱ）设，，AB的中点为， 又设，直线l的方程为（）． 由，得． ∴，，．………………………7分 所以，从而． ∵为正三角形，∴，． 由，得，所以．………………9分 由，得， 即， 又∵， ∴，从而．…………………… 11分 ∵，∴，∴． ∴的取值范围．           ………………………………………12分

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