题目

如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,且PA=AB=2,E为PD中点.(1)证明PB∥平面AEC;(2)证明平面PCD⊥平面PAD;(3)求二面角EACD的正切值. 答案：解:(1)证明：连结BD交AC于点O，连结EO.∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB.∵EO平面AEC,PB平面AEC,∴PB∥平面AEC. (2)证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，∴PA⊥平面ABCD.∵CD平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵CD平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD.      (3)方法一：取AD中点L,过L作LK⊥AC于K，连结EK、EL, ∵L为AD中点，∴EL∥PA.∴EL⊥平面ABCD.∴LK为EK在平面ABCD内的射影.又∵LK⊥AC,∴EK⊥AC.∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角. 在Rt△ADC中,LK⊥AC,∴△AKL∽△ADC.∴=,即=.∴KL=.又EL=PA=1,在Rt△ELK中,tan∠EKL=,∴二面角E-AC-D的正切值为. 方法二：如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.由AP=AB=2可知A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,1,1). ∵PA⊥平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,2).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,1),=(2,2,0),则即∴∴令y=-1,则n=(1,-1,1). ∴cos〈,n〉=.∴tan〈,n〉=.∴二面角EACD的正切值为2.

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