题目

已知双曲线x2－=1,过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P1、P2两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程； (2)过点B(1，1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q1、Q2，且B是线段Q1Q2的中点?请说明理由. 答案：(1) 中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x+y=0.(2)见解析 解析:(1)解法一:设点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，中点P的坐标为(x,y),则有x12－=1,x22－=1,两式相减，得 2(x1+x2)(x1－x2)=(y1+y2)(y1－y2). 当x1≠x2,y≠0时, 由x1+x2=2x,y1+y2=2y, 得=.                                                                                                      ① 又由P1、P2、P、A四点共线， 得=.                                                                                                         ② 由①②得=, 即2x2－y2－4x+y=0. 当x1=x2时，x=2,y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x+y=0. 解法二:设点P1、P2、中点P的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y), 直线l的方程为y=k(x－2)+1,将l方程代入双曲线x2－=1中， 得(2－k2)x2+2k(2k－1)x+2k2－3=0, 则x1+x2=,x1x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2－4k=. 于是              当y≠0时，由①②得k=.将其代入①，整理得2x2－y2－4x+y=0.当l倾斜角为90°时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x2－y2－4x+y=0. (2)假设满足题设条件的直线l′存在，Q1、Q2的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)(x3－x4)=(y3+y4)(y3－y4). ∵x3+x4=2,y3+y4=2, ∴=2(x3≠x4), 即l′的斜率为2. ∴l′的直线方程为y－1=2(x－1)， 即y=2x－1. ∵方程组无解，与假设矛盾, ∴满足条件的直线l′不存在.

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