题目

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）若直线AB，CD的斜率均存在，求•的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长为2，右焦点F（1，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆G的方程． （Ⅱ）F（1，0），由题意设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式分别求出AB的中点P，CD的中点Q，从而求出k=±1时，有最大值．当k=±1时，直线PQ的方程为x=，恒过定点（，0），当直线有斜率时，求出直线PQ的方程，由此能求出直线PQ恒过定点（）． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点F（1，0）， ∴，解得a=，b=， ∴椭圆G的方程为=1． （Ⅱ）F（1，0），由题意设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0， 由，得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=， ∴AB的中点P（，）， 又由题意得直线CD的方程为y=﹣， 同理，得CD的中点Q（）， ∴== =≤=， 当且仅当，即k=±1时，有最大值． 又当直线PQ⊥x轴时， =， 即k=±1时，直线PQ的方程为x=，恒过定点（，0）， 当直线有斜率时，kPQ==， ∴直线PQ的方程为y﹣， 令y=0，得x===，恒过定点（）， 综上，直线PQ恒过定点（）．

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