题目

一个截面为抛物线形的旧河道,河口宽AB=4 m ,河深2 m ,现要将其截面改造为等腰梯形,要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土,试求当截面梯形的下底长为多少米时,才能使挖出的土最少? 答案：解析：此题是一道实际应用问题,要将截面改造为等腰梯形,又要使所挖出的土最少,只能沿着抛物线上某一点的切线去挖.如图,以抛物线顶点为原点,AB中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,2),B(2,2).设抛物线方程:x2=2py(p＞0),将点B(2,2)代入得p=1 ,所以抛物线方程为x2=2y,即y=x2.设等腰梯形的腰与抛物线相切于点P(t, t2),则过点P的切线l的斜率为y′|x=t=t,所以一腰的方程为y-=t(x-t),即y=tx-.当y=0时,x=;y=2时,x=+.所以截面面积S=,当且仅当t=,即t=2时,“=”成立,此时下底边长为.答案：当截面梯形的下底面边长为m时,挖出的土最少.

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