题目

已知正项等比数列{an}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值． 答案： (1)an＝3×()n－1.(2)9. 试题解析：(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列， ∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4) 即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)， 化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±， ∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1. (2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1; Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n 两式相减得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n ＝3×－3n()n＝6－， ∴Tn＝12－＜12. 又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}单调递增， ∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12. ∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]， ∴a≤3，b≥12. 即a的最大值为3，b的最小值为12. 故(b－a)min＝12－3＝9.

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