题目

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 答案：解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上， ∴， ∵c=6， ∴a=2，b=﹣8， ∴y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b， 把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3， ∴直线AC解析式：y=﹣x+3， 点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3， 整理得：2m2﹣7m+3=0， 解得；m=3或m=， ∴P（3，0）或P（，）．

查看本题答案和解析