题目

  如图，四棱锥中，底面为直角梯形，,平面平面，分别为的中点，为的中点，过作平面分别与交于点，若 （1）当时，求证：平面平面； （2）是否存在实数，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由. 答案： (1)E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AECD 当t=时，Q为AD中点，  所以PQAE 因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD 因为PQ，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE 所以面MNPQ⊥面SAE.................6分 （2）如图，以E为原点，ED,EA,ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系； 设ED=a,则E(0,0,0),A(0,0),Q,，面ABCD一个方向向量为（1,0,0） 设平面MPQ的法向量为=(x,y,z),则由⊥,⊥得：,x=0 令z=2∴=.................9分 显然平面ABCD的法向量为=（0，0，1） 由题意： ∴cosq== 所以t=...............11分 由图形知，当t=时，二面角M-PQ-A为钝二面角，不合题意，舍去 综上：t=...............12分

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