题目

如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____． 答案：【解析】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=（4﹣x），由EG=即可求得答案． 【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P， ∵四边形DEFG是矩形， ∴AQ⊥DG，GF=PQ， 设GF=PQ=x，则AP=4﹣x， 由DG∥BC知△ADG∽△ABC， ∴，即， 则EF=DG=（4﹣x）， ∴EG===， ∴当x=时，EG取得最小值，最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．

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