题目

（2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为______． 答案：1或． 【解析】 分两种情况进行讨论：①如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形． 由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE， ∴∠CFP=180°， 即点P，F，C在一条直线上． 在Rt△CDE和Rt△CFE中，， ∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL）， ∴CF=CD=4，设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4． 在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2， 解得：x，即AP； ②如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形． 过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°． 又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED， ∴∠FEQ=∠ECD， ∴△FEQ∽△ECD， ∴，即， 解得：FQ，QE， ∴AQ=HF，AH， 设AP=FP=x，则HPx． ∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2， 即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1． 综上所述：AP的长为1或． 【点睛】 本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

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