题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证： （1）AF=CG； （2）CF=2DE． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题． 【分析】（1）要证AF=CG，只需证明△AFC≌△CBG即可． （2）延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE． 【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB， ∴∠ACG=∠BCG=45°， 又∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAF=∠CBF=45°， ∴∠CAF=∠BCG， 在△AFC与△CGB中， ， ∴△AFC≌△CBG（ASA）， ∴AF=CG； （2）延长CG交AB于H， ∵CG平分∠ACB，AC=BC， ∴CH⊥AB，CH平分AB， ∵AD⊥AB， ∴AD∥CG， ∴∠D=∠EGC， 在△ADE与△CGE中， ， ∴△ADE≌△CGE（AAS）， ∴DE=GE， 即DG=2DE， ∵AD∥CG，CH平分AB， ∴DG=BG， ∵△AFC≌△CBG， ∴CF=BG， ∴CF=2DE． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．

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