题目

（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD = 90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2.且PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，AE⊥PD于E，    （Ⅰ）求证：面PCD⊥面ABE；          （Ⅱ）求异面直线AE与CD所成角的余弦值.    答案：解：（Ⅰ）          面ABE     而面PCD   面ABE               …………………6分    （Ⅱ）（法一）由已知∠EAD=90°-∠EDA=60°, ∠ADC=45°, 设AE与CD所成角θ，则cosθ=cos∠EADcos∠ADC=. (法二)建立空间直角坐标系，易知A（0,0,0）、C（1,1,0）、D（0,2,0）…7分     而     …6分……10分     于是           ………13分   (法三)过A作AF∥CD，与BC交于F，过E作EH⊥AD于H, 连结FH,EF,则AE=1,EH=,FH=,AF=,∴EF=2, ∴cos∠FAD==-.∴AE与CD所成角余弦值为.

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