题目

         (本小题满分12分） 妯图，在直三棱柱中，平面丄侧面 (I )求证：AB丄BC (II)若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.   答案：【解及证】（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，…………1分  则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B，得AD⊥平面A1BC, …………2分　 又BC平面A1BC，∴AD⊥BC. 　　　…………3分 ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC. …4分 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，　　　　　　　　…………5分 又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC　　　　　………………………6分 （Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，…………7分 是二面角A1—BC—A的平面角，即　　　　　　………..…8分 于是在Rt△ADC中，………9分　　在Rt△ADB中，　……….10分 由AB＜AC，得又所以　　　　　　…………………….12分 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，　　　　　　　　………………7分 设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),  于是 ，，　……8分 设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,z)，则由得　……9分 可取=(0,,c)，于是c＞0，与n的夹角为锐角，则与互为余角.  ∴sinθ=cosβ==，  cosφ=， ∴于是由＜b，得即又 ∴…..12分.

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