题目

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,,,AC=2,A1C1=1,. (Ⅰ)证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1; (Ⅱ)求二面角A﹣CC1﹣B的大小. 答案:考点: 平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1,根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直,根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC,AD⊥BC,又A1A∩AD=A,根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD,而BC⊂平面BCC1B1,满足定理所需条件; (Ⅱ)作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由三垂线定理知BE⊥CC1,从而∠AEB为二面角A﹣CC1﹣B的平面角,过C1作C1F⊥AC交AC于F点,在Rt△BAE中,求出二面角A﹣CC1﹣B的平面角即可. 解答: 证明:(Ⅰ)∵A1A⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1A⊥BC.在Rt△ABC中,,∴, ∵BD:DC=1:2,∴,又, ∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,即AD⊥BC. 又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD,∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.(Ⅱ)如图,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE, 由已知得AB⊥平面ACC1A1.∴AE是BE在面ACC1A1内的射影. 由三垂线定理知BE⊥CC1,∴∠AEB为二面角A﹣CC1﹣B的平面角. 过C1作C1F⊥AC交AC于F点, 则CF=AC﹣AF=1,,∴∠C1CF=60°. 在Rt△AEC中,. 在Rt△BAE中,.∴, 即二面角A﹣CC1﹣B为. 点评: 本题主要考查平面与平面垂直的判定,以及二面角的平面角的度量,同时考查了空间想象能力,计算能力和推理能力,以及转化与划归的思想,属于中档题.
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