题目

定义在R上的单调函数f (x)满足f (3) = log­23且对任意x，y∈R都有f (x + y) = f (x) + f (y)．（Ⅰ）求证f (x)为奇函数；（Ⅱ）若f (k・3x) + f (3x 9x 2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 答案：解析：（1）f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)   ①令x = y = 0，代入①式，得f (0 + 0) = f (0) + f (0)，即f (0) = 0．……２分令y= x，代入①式，得f (x x) = f(x) + f (x)，又f (0) = 0，则有0 = f (x) + f (x)．即f (x) = f (x)对任意x∈R成立，所以f (x)是奇函数．……５分（2）f (3) = log23＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x)在R上是单调函数，……６分所以f (x)在R上是增函数，又由（1）知f (x)是奇函数．f (k・3x)＜f (3x 9x 2) = f (3x + 9x +2)，k・3x＜3x + 9x +2，……８分对任意x∈R成立．分离参数得k＜3x +．……１０分  令u =3x +≥，即u的最小值为，要使对x∈R不等式恒成立，只要使． 

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